[LeetCode] 每日一题 1760. 袋子里最少数目的球

题目链接

https://leetcode.cn/problems/minimum-limit-of-balls-in-a-bag

题目描述

给你一个整数数组 nums ，其中 nums[i] 表示第 i 个袋子里球的数目。同时给你一个整数 maxOperations 。

你可以进行如下操作至多 maxOperations 次：

• 选择任意一个袋子，并将袋子里的球分到 2 个新的袋子中，每个袋子里都有 正整数 个球。

  • 比方说，一个袋子里有 5 个球，你可以把它们分到两个新袋子里，分别有 1 个和 4 个球，或者分别有 2 个和 3 个球。

你的开销是单个袋子里球数目的 最大值 ，你想要 最小化 开销。

请你返回进行上述操作后的最小开销。

示例输入

示例 1

输入：nums = [9], maxOperations = 2
输出：3
解释：
- 将装有 9 个球的袋子分成装有 6 个和 3 个球的袋子。[9] -> [6,3] 。
- 将装有 6 个球的袋子分成装有 3 个和 3 个球的袋子。[6,3] -> [3,3,3] 。
装有最多球的袋子里装有 3 个球，所以开销为 3 并返回 3 。

示例 2

输入：nums = [2,4,8,2], maxOperations = 4
输出：2
解释：
- 将装有 8 个球的袋子分成装有 4 个和 4 个球的袋子。[2,4,8,2] -> [2,4,4,4,2] 。
- 将装有 4 个球的袋子分成装有 2 个和 2 个球的袋子。[2,4,4,4,2] -> [2,2,2,4,4,2] 。
- 将装有 4 个球的袋子分成装有 2 个和 2 个球的袋子。[2,2,2,4,4,2] -> [2,2,2,2,2,4,2] 。
- 将装有 4 个球的袋子分成装有 2 个和 2 个球的袋子。[2,2,2,2,2,4,2] -> [2,2,2,2,2,2,2,2] 。
装有最多球的袋子里装有 2 个球，所以开销为 2 并返回 2 。

示例 3

输入：nums = [7,17], maxOperations = 2
输出：7

提示

• 1 <= nums.length <= 10^5

• 1 <= maxOperations, nums[i] <= 10^9

解题思路

解题思路

一开始，我考虑使用 最大堆 来模拟拆分操作，每次取出当前最大的袋子并拆成两个新袋子。虽然这种方法直观，但由于 maxOperations 可能很大，导致 超时，直接模拟拆分并不现实

后来，我看到了一个 有意思的思路——可以通过 二分查找 来解决这个问题，而不是直接模拟操作。具体来说，我们可以反向思考：

• 假设我们设定一个限制 x，要求每个袋子里的球数最多为 x，那么能否在 maxOperations 次内将所有袋子调整成满足该限制？

• 如果可以，说明 x 可能还能更小；如果不可以，说明 x 太小了，需要放宽限制

这种方式就可以通过 二分查找 来找到最小的可行 x，从而最小化袋子里球数的最大值

代码实现

class Solution {
    public int minimumSize(int[] nums, int maxOperations) {
        int max = 0;
        for (int num : nums) {
            max = Math.max(max, num);
        }
        // 二分查找最小的 maxNum
        int left = 0, right = max;
        while (left + 1 < right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            if (check(nums, mid, maxOperations)) {
                right = mid;
            } else {
                left = mid;
            }
        }
        return right;
    }

    private boolean check(int[] nums, int maxNum, int maxOperations) {
        long count = 0;
        for (int num : nums) {
            count += (num - 1) / maxNum; // 计算需要的拆分次数
        }
        return count <= maxOperations;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n log U)，其中 n 是 nums 的长度，U = max(nums)，二分查找 log U 次，每次 O(n) 遍历数组进行 check 判断

• 空间复杂度：O(1)，只用了几个变量，没有额外的数据结构

总结

最开始，我的想法是用 最大堆 来模拟拆分，但由于 maxOperations 数量较大，这种方法导致 超时。后来，我看到了 二分查找 的思路：与其直接模拟拆分，不如反向思考 “如果袋子里球的最大值设为 x，是否能满足 maxOperations 的约束？”，这样可以大幅减少计算量

最终，使用 二分查找 成功降低了时间复杂度，从暴力模拟的 O(n * maxOperations) 降到了 O(n log U)，使得问题在大规模数据下仍能高效求解。这种 “设定目标值 + 判断可行性” 的二分法 在许多优化问题中都非常常见，值得深入学习

希望这篇分享能为你带来启发！如果你有任何问题或建议，欢迎在评论区留言，与我共同交流探讨。